Моделі росту чисельності населення

 

Задача 1.1. (Задача Фібоначчі) В початковий момент  є одна пара дорослих кролів. Знайти число пар всіх кролів в довільний момент часу , якщо кожна доросла пара на кожному кроці народжує пару молодих, а молоді стають дорослими за одиницю часу.

 

Задача 1.2.  В початковий момент  є 2 пари дорослих кролів. Знайти число пар дорослих кролів в довільний момент часу , якщо кожна доросла пара на кожному кроці народжує 4 пари молодих, а молоді стають дорослими за 2 одиниці часу.

 

Задача 1.3.  Визначити чисельність населення  з показником , де:

а) ,

б)   (  ), 

в) .

 

Задача 1.4.  В моделі «демографічного вибуху» знайти залежність між початковим значенням кількості населення  і моментом вибуху .

 

Задача 1.5.  Довести, що в моделі «з запізненням»

,

де   функція, що обмежена на кожному відрізку, а  обмежена при , «вибух» неможливий (тобто неможливим є досягнення нескінченного значення за скінченний час).

 

Задача 1.6.  Маємо дві моделі росту чисельності населення Землі:

1) гіперболічна:  при , ,

2) тригонометрична:  при , , .

Знайти:

а) прогноз на 2000 рік в обох моделях,

б) момент проходження рівня 10 млрд. в обох моделях,

в) найбільшу розбіжність в прогнозах до 1975 року,

г) граничне значення чисельності в тригонометричній моделі,

д) яка з моделей краще відповідає даним таблиці?

Рік	1900	1920	1930	1940	1950	1955	1960	1965	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000
Населення (млн. чол.)	1650	1811	2020	2295	2450	2752	3019	3336	3689	4080	4450	4854	5294	5765	6060

 

Задача 1.7.  Маємо 2 ізольовані популяції, що ростуть експоненційно з показниками 0,2% і 2% (в рік). В початковий момент часу співвідношення їхніх кількостей 2:1.

а) Знайти співвідношення чисельностей через 10 років.

б) Коли чисельності популяції зрівняються?

 

Задача 1.8.  Маємо 2 ізольовані популяції, що ростуть експоненційно з показниками 2% і +2% (в рік). В початковий момент часу їхні чисельності 100 і 10 млн. чол. Знайти мінімум сумарної чисельності і відповідний момент часу.

 

Задача 1.9.  Популяція експоненційно росте з показником , який оцінюється відносною похибкою . За початковою умовою  роблять прогноз на  років вперед. Знайти інтервал можливих значень для , якщо  млн. чол.,  (в рік), .

 

Задача 1.10.  Нехай показник росту  є випадковою величиною. Знайти середню чисельність населення , якщо

а)  набуває значень  з ймовірностями ;

б)  має нормальний розподіл ;

в)  має показниковий розподіл з параметром .

 

 

Задача для самостійного розв’язання

 

Задача s1.1 В початковий момент  є дві пари дорослих кролів. Знайти число пар всіх кролів в довільний момент часу , якщо кожна доросла пара на кожному кроці народжує шість пар молодих, а молоді стають дорослими за одиницю часу.