Моделі смертності

 

Задача 2.1.   Знайти функцію доживання і середню тривалість майбутнього життя в наступних моделях смертності (при  ):

а) ,     б)   (  ).

Задача 2.2.  Нехай , , і середня тривалість життя 60 років. Знайти ймовірність доживання і середню тривалість майбутнього життя у віці  у  років, якщо:

а)  , ,

б) ,  .

Задача 2.3.  Нехай , , . Знайти силу смертності і середню тривалість майбутнього життя. Знайти ймовірність доживання і середню тривалість майбутнього життя у віці  у  років, якщо:

а)  (роки),

б)  (років).

Задача 2.4.  В моделі смертності  Хелігмена-Поларда  покладають

.

Нехай , , , , , , , . Знайти силу смертності у віці: а) 40 років, б) 60 років, в) 80 років.

Задача 2.5.  За силою смертності  (модель Гомпертца-Мейкхема):

а) знайти функцію доживання,

б) знайти , якщо ,  і .

Задача 2.6.  Для трьох груп населення А, В і С є три причини смерті (1, 2 і 3). На групу А діють 1 і 2, на В  1 і 3, на С  2 і 3. Відомі сили смертності за групами  і функції доживання , , . Знайти сили смертності за причинами  і відповідні їм функції доживання.

Задача 2.7.  Нехай в умовах задачі 2.6.   ‰,  ‰,  ‰. Знайти очікувану сумарну смертність груп, де діють всі три причини, якщо вплив першої із них вдасться зменшити на 10%.

Задача 2.8.  Отримати наступне диференційне рівняння:

.

Задача 2.9.  Довести наступну формулу (в моделі з неперервним часом):

 

для довільних . Як зміниться ця формула, якщо сила смертності є сталою на інтервалі ?  Як виразити  через ?

Задача 2.10.  Знайти , якщо  (років) і сила смертності у віці 20-24 років складає 3‰ (в рік). Який приріст сумарної тривалості життя на цьому віковому відрізку?

Задача 2.11.  Оцінити середню тривалість життя чоловіків, жінок і всього населення (з точністю до року), спираючись на наступні табличні дані:

Задача 2.12. Оцінити середню тривалість майбутнього життя для чоловіків, жінок і всього населення у віці 60 років (з точністю до року), спираючись на дані попередньої задачі 2.11.

Задача 2.13.  За даними таблиці визначити, в яких вікових групах смертність всього населення зросла більше, ніж на 50%.

Задача 2.14.  Дано дві групи населення А і В зі значеннями середньої тривалості життя 60 і 70 років відповідно, причому їхні чисельності відносяться як 6:4. Знайти середню тривалість життя всього населення (яке складається лише з представників цих двох груп). Як вона зміниться, якщо співвідношення чисельностей груп буде 8:2, а середня тривалість життя в кожній групі зросте на 1 рік?

Задача 2.15.  За даними таблиці визначити домінуючу причину смертності в кожній віковій групі

Вікові коефіцієнти смертності

(кількість померлих на 100000 чол.)

Задача 2.16.  За даними таблиці задачі 2.11.  для чоловіків і жінок знайти ймовірності:

а) дожити до 60 років, перебуваючи у віці 20 років,

б) дожити до 80 років, перебуваючи у віці 60 років.

Задача 2.17.  Нехай функції розподілу тривалості життя мають загальний вид , , а середні для чоловіків і жінок складають 60 і 72 роки. Знайти ймовірність того, що із випадково відібраних чоловіка і жінки одного року народження чоловік помре раніше.

Задача 2.18.  В моделі смертності У.Браса вважається, що

, ,

де   деяка «стандартна» функція розподілу тривалості життя. При ,  за даними таблиці знайти ймовірності дожити до а) 45, б) 55, в) 65 років.

Задача 2.19.  У місті з населенням в 0,5 млн. чол. смертність складає 2% в рік. Побудувати 95%-довірчий інтервал для кількості смертей за рік.