На відміну від широко прийнятого визначення суміші розподілів (див. змішані розподіли) ми сумішшю розподілів називаємо розподіл, який не належить до жодного "чистого" класу розподілів (дискретний, абсолютно неперервний, сингулярний). При цьому ми спираємось на теорему про розклад функції розподілу, яка стверджує, що будь-яку функцію розподілу можна єдиним чином подати у вигляді лінійної комбінації трьох базових типів функцій розподілу: дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної. Це Theorem 1.3.2 на 12 сторінці у книзі K.L. Chung. A Course in Probability Theory. Academic Press, Orlando, Florida 32887, 1974. Ця ж теорема згадується, наприклад, тут на стор. 97.

Нехай випадкова величина \(X\) описує виграш у лотереї. З ймовірністю \(0.6\) людина не виграє нічого (отримує 0). З ймовірністю \(0.4\) виграш розподілений рівномірно на проміжку \([100, 500]\) гривень. Яка ймовірність того, що людина виграє менше 200 гривень?

Маємо суміш дискретного та неперервного розподілів. З ймовірністю \(0.6\) маємо дискретну компоненту, коли \(X = 0.\) З ймовірністю \(0.4\) маємо неперервну компоненту, рівномірно розподілену на проміжку \([100, 500]\) гривень.

Шукаємо \[P(X < 200) = P(X = 0) + P(0 < X < 200)\]

• \(P(X = 0) = 0.6\).
• Для обчислення \(P(0 < X < 200)\) потрібно використати щільність ймовірності рівномірного розподілу на проміжку \([100, 500]\) \[f(x) = \frac{1}{b - a} = \frac{1}{500 - 100} = \frac{1}{400}, \quad 100 \le x \le 500.\] Отже, \[P(0 < X < 200) = P(100 \le X < 200) = 0.4 \cdot \int_{100}^{200} \frac{1}{400}\, dx = 0.4\cdot\frac{1}{400} \left[x\right]_{100}^{200} =\] \[= 0.4 \cdot \frac{1}{400} (200 - 100) = 0.4 \cdot \frac{100}{400} = 0.4 \cdot \frac{1}{4} = 0.1.\]

Таким чином, \[P(X < 200) = P(X = 0) + P(0 < X < 200) = 0.6 + 0.1 = 0.7\]

Відповідь: ймовірність того, що людина виграє менше 200 гривень, дорівнює 0.7.