Моделі народжуваності

Задача 3.1. Перевірити гіпотезу про пуассонівський потік народжених за критерієм \(\chi^2\) для рівня значущості 1%.

Задача 3.2. Знайти середню кількість дітей та середній вік матерів в наступних моделях вікової фертильності:

• а) \(f(t) = Ae^{-b(t-t_0)}\), \(t \ge t_0\);
• б) \(f(t) = A_1e^{-b_1(t-t_0)} + A_2e^{-b_2(t-t_0)}\), \(t \ge t_0\);
• в) \(f(t) = A(t-t_0)^\alpha (t_1-t)^\beta\), \(t \in [t_0, t_1], \quad \alpha, \beta > 0\).

Вказівка: використати визначення та властивості бета-функції.

Задача 3.3. В поліноміальній моделі народжуваності У. Брасса (link) вікова фертильність описується формулою \[f(t) = A(t-t_0)^\alpha (t_1-t)^\beta, \quad t \in [t_0, t_1], \quad \alpha, \beta > 0\] при \(\alpha = 1,\; \beta = 2,\; t_1 = t_0 + 33\). В цих припущеннях:

• а) виразити невідомі параметри моделі через середню кількість дітей та середній вік матерів;
• б) при \(N_0 = 2,\; T_m = 26\), знайти точку максимуму фертильності та його значення.

Задача 3.4. Знайти ймовірність виродження для наступних розподілів кількості дітей в сім'ї:

• а) трьохточкового — \((p_0, p_1, p_2)\),
• б) чотирьохточкового — \((p_0, p_1, p_2, p_3)\), \(p_3 > 0\),
• в) геометричного (від нуля) із середнім \(\mu\).

Задача 3.5. Оцінити ймовірність виродження за даними таблиці для кожної з когорт, об’єднуючи ймовірності кількості дітей \(\ge 3\).

Задача 3.6. Нехай розподіл кількості дітей задано ймовірностями: \(p_0 = 0.1,\) \(p_1 = 0.2,\) \(p_3 = 0.25,\) \(p_4 = 0.15.\) Знайти середню кількість дітей та середній вік матерів, якщо перша дитина народжується (в середньому) в 23 роки, друга – через 4 роки, третя – через 3 роки, четверта – через 2 роки (нехтуємо смертністю, чисельність вікових груп матерів вважаємо однаковою).

Задача 3.7. Знайти розподіл числа хлопчиків в сім’ї, якщо ймовірність народження хлопчика 0.515, а розподіл загальної кількості дітей в сім’ї:

• а) біноміальний з параметрами \(n = 4,\; p = 6\);
• б) пуассонівський з середнім 2.

Задача 3.8. В моделі Лоткі розподіл числа чоловічих потомків (що продовжують прізвище) описуються формулами: \[p_k = bc^{k-1}, \quad k \ge 1, \quad p_0 = 1 - b/(1-c), \quad b, c > 0, \quad b + c < 1.\]

• а) Знайти середню кількість чоловічих потомків \(\mu\) та ймовірність виродження прізвища \(q\).
• б) Розв’язати задачу при \(b = 0.2,\; c = 0.6\).

Задача 3.5. Оцінити ймовірність виродження за даними таблиці для кожної з когорт, об’єднуючи ймовірності кількості дітей \(\ge 3\).

Задача 3.6. Нехай розподіл кількості дітей задано ймовірностями: \(p_0 = 0.1, p_1 = 0.2, p_3 = 0.25, p_4 = 0.15\). Знайти середню кількість дітей та середній вік матерів, якщо перша дитина народжується (в середньому) в 23 роки, друга – через 4 роки, третя – через 3 роки, четверта – через 2 роки (нехтуємо смертністю, чисельність вікових груп матерів вважаємо однаковою).

Задача 3.7. Знайти розподіл числа хлопчиків в сім’ї, якщо ймовірність народження хлопчика 0.515, а розподіл загальної кількості дітей в сім’ї:

• а) біноміальний з параметрами \(n = 4, p = 6\);
• б) пуассонівський з середнім 2.

Задача 3.9. Нехай розподіл кількості дітей в сім’ї пуассонівський з середнім \(\lambda=3\), перша дитина народжується в середньому в 22 роки, а кожна наступна — в середньому через 2 роки (смертністю нехтуємо, кількість вікових груп матерів вважаємо однаковою).

• а) Знайти середній вік матерів.
• б) Як зміниться середній вік матерів, якщо перша дитина буде народжуватись в середньому на рік пізніше, а середня кількість дітей скоротиться в два рази?

Задача 3.10. За даними таблиці вікових коефіцієнтів (числа народжених на 1000 жінок даного віку)

• а) брутто-коефіцієнт народжуваності і середній вік матерів;
• б) нетто-коефіцієнт народжуваності, враховуючи наступні дані:

Задача 3.11. Розв’язати попередню задачу за наступними даними:

Задача 3.12. За рік в місті народилося 10268 хлопців та 9742 дівчини. На рівні значущості 5% перевірити гіпотезу про те, що:

• а) народження хлопців та дівчат рівноможливі;
• б) ймовірності народження для хлопців та дівчат дорівнюють 0,51 і 0,49.

Задача 3.13. В місті А з населенням 1 млн. чол. за рік народилося 10,2 тис. дітей, а в сусідньому місті Б з населенням 2 млн. чол. в той же рік народилося 19,8 тис. дітей. Чи можна стверджувати, що середня народжуваність в місті А більша, ніж в Б (на рівні значущості 5%)?

Задача 3.14. В місті з населенням 1 млн. чол. народжуваність складає 1% в рік. Побудувати 95%-довірчий інтервал для кількості народжувань за рік.

Задача 3.15. Побудувати 99%-довірчий інтервал для кількості хлопців на 100 тис. народжувань, якщо ймовірність народження хлопця дорівнює 0,515.