Моделі руху активного населення

Задача 4.1. Нехай є дві групи (1 і 2). Інтенсивність переходів з 1 до 2 дорівнює \(a\), а із 2 до 1 – \(b\), причому \(a, b > 0\). При невід’ємній початковій умові \(\overline{n}(0) = (n_1^0, n_2^0)^T\):

• а) в моделі з неперервним часом знайти \(\overline{n}(t)\);
• б) в моделі з дискретним часом знайти \(\overline{n}(t)\) за умов, коли цей розв’язок завжди невід’ємний;
• в) при яких \(a\) і \(b\) розв’язок в моделі з дискретним часом стабілізується, починаючи з \(t = 1\)?

Задача 4.2. Нехай маємо три групи (1, 2 і 3). Інтенсивність переходів з 1 в 2 і 3 дорівнює \(a\), із 2 в 1 і 3 – \(b\), із 3 в 1 і 2 – \(c\), причому \(a, b, c > 0\).

• а) Знайти граничну структуру населення.
• За початкової умови \(\overline{n}(0) = (1, 0, 0)^T\):
• б) знайти розв’язок при \(a = b = c = 1\) (для дискретної та неперервної моделей);
• в) знайти розв’язок при \(a = 1,\; b = 4,\; c = 9\) (для неперервної моделі).

Задача 4.3. Нехай маємо три групи. Інтенсивності переходів з 1 до 2 дорівнює \(a\), із 2 в 3 – \(b\), причому \(a, b > 0, a \ne b\). Знайти для неперервної моделі:

• а) загальний розв’язок;
• б) розв’язок при \(a = 2,\; b = 1,\; \overline{n}(0) = (1, 0, 0)^T\).

Задача 4.4. Маємо три групи активного населення А, Б і В, ймовірності виходу з яких складають 1%, 6% та 9% (в місяць). При виході з групи людина рівноймовірно переходить в одну з двох інших груп. При початкових чисельностях груп 0.3, 1.3 та 0.7 млн. чол.:

• а) знайти \(\overline{n}(t)\), використовуючи дискретну модель;
• б) знайти чисельність груп через рік;
• в) знайти граничні чисельності груп.

Задача 4.5. Активне населення ділиться на працюючих (А) і безробітних (Б). Ймовірність загубити роботу складає 2% (в місяць), а ймовірність знайти її – 18% (в місяць).

• а) Знайти рівноважний рівень безробіття.
• б) У скільки разів скоротиться безробіття, якщо завдячуючи державній програмі зайнятості середній час пошуку роботи зменшиться вдвічі?