Моделі природного руху населення

Задача 5.1. Нехай на кожному кроці кожна доросла пара кроликів або народжує в середньому \(\mu\) пар молодих або гине з ймовірністю \(p\) (не залишивши потомства), а кожна молода пара стає дорослою. Виписати матрицю Леслі і рекурентну формулу. Знайти середню кількість пар дорослих кроликів у будь-який момент часу \(t\), якщо в початковий момент \(t = 0\) є одна пара дорослих кроликів для наступних значень параметрів:

• а) \(\mu = 1,\; p = 0.1\);
• б) \(\mu = 3,\; p = 0.2\);
• в) \(\mu = 4,\; p = 0.1\);
• г) \(\mu = 6,\; p = 0.5\);
• д) \(\mu = 1,\; p = 0.5\).

При яких початкових умовах середня кількість пар кроликів змінюється строго в геометричній прогресії? При яких значеннях параметрів вона прямує до скінченної ненульової границі?

Задача 5.2. Знайти стабільне населення в моделі вільного руху з однією статтю в припущенні, що фертильність і сила смертності не залежать від часу, а початкова умова невизначена. Знайти умову росту населення.

Вказівка: розв’язок шукати у вигляді \(z(t, x) = e^{k t} u(x)\); виразити функцію доживання через силу смертності.

Задача 5.3. Знайти середній вік стабільного населення в задачі 5.2 при \(F(x) = (x/100)^2, 0 \le x \le 100\), і природному прирості: а) +1%; б) -1% (в рік).

Задача 5.4. Знайти стабільне населення в моделі вільного руху з двома статями в припущенні, що фертильність і сила смертності для обох статей не залежать від часу. Знайти умову росту населення. Вказівка: розв’язок шукати у вигляді \[z_1(t, x) = e^{k t} u_1(x),\qquad z_2(t, x) = e^{k t} u_2(x).\]

Задача 5.5. Знайти середній вік стабільного населення в задачі 5.2, якщо:

• а) \(l(x) = (1-(x/b))^a\),
• б) \(F(x) = (x/b)^a; \qquad 0 \le x < b,\; a > 0\).

Задача 5.6. За даними таблиці оцінити:

• а) ймовірності народження хлопчиків та дівчаток;
• б) в якому віці частки чоловіків та жінок вирівнюються.

Задача 5.7. За даними таблиці із задачі 5.6 знайти локальні максимуми та мінімуми (всього населення) з відповідними роками народження.

Задача 5.8. Оцінити очікувану кількість народжень за даними таблиці із задачі 5.6 і за віковими коефіцієнтами народжуваності – кількостями народжених на 1000 жінок даного віку (народжуваність вважаємо постійною):

Задача 5.9. Оцінити очікувану кількість смертей за даними таблиць із задач 5.6 і наступною таблицею кількості тих, хто доживає до даного віку із 100000 народжених:

(смертність вважаємо постійною).

Задача 5.10. Нехай в моделі з однією статтю є стабільне населення із природним приростом 1% (в рік), народжуваністю за моделлю У. Брасса з середнім віком матерів \(T_m = 25.2\) (років) і функцією розподілу часу життя \(F(x) = (x/100)^2\). Підрахувати репродуктивний потенціал у віці: а) 20 років; б) 30 років; в) 40 років.