Загальні моделі руху населення

Задача 6.1. Нехай є популяція кроликів двох вікових категорій: доросла і молода. За один проміжок часу кожна доросла пара народжує \(\mu\) пар молодих, кожна молода пара стає дорослою, і крім цього, проводиться вилучення \(l\) пар дорослих кроликів (після народжень і переходів).

• а) знайти рівноважні значення кількостей молодих і дорослих пар.

Припускаючи, що в початковий момент часу \(t = 0\) є \(\nu\) пар дорослих кроликів:

• б) знайти кількості пар молодих і дорослих кроликів в будь-який момент \(t\) в загальному випадку (без врахування умови невід’ємності);
• в) знайти умови, за яких популяція кроликів росте, вимирає, прямує до скінченної ненульової границі.

Задача 6.2. Нехай є популяція кроликів трьох вікових категорій. За один крок кожна молода пара стає дорослою, кожна доросла народжує 3 молодих і стає старою, зі старих \(\frac{1}{2}\) помирає. Крім цього, відбувається вилучення 4 молодих, 2 дорослих і 1 старої пари (після народжень, загибелі й переходів). Знайти рівноважне положення.

Задача 6.3. Є дві групи (1 і 2). Природний приріст в групі 1 дорівнює \(a\), в групі 2 – \(b\). Крім цього, є постійний потік із швидкістю \(l\) чол. з першої групи в другу (поки група 1 не порожня). Розглянути всі випадки розвитку подій.

Задача 6.4. Є дві групи (1 і 2). Природний приріст в групі 1 дорівнює \(k_1\), в групі 2 – \(k_2\), інтенсивність переходів з 1 в 2 дорівнює \(l_1\), з 2 в 1 – \(l_2\). Знайти умови, за яких популяція росте, вимирає, прямує до скінченної ненульової границі (при невід’ємній, ненульовій початковій умові).

Задача 6.5. В умовах задачі 6.4 знайти загальний розв’язок, показник росту і граничну структуру при невід’ємній, ненульовій початковій умові, якщо задані параметри:

• а) \(k_1 = 5,\; l_1 = 4,\; k_2 = 2,\; l_2 = 1\);
• б) \(k_1 = 2,\; l_1 = 1,\; k_2 = 4,\; l_2 = 2\);
• в) \(k_1 = 6,\; l_1 = 4,\; k_2 = 8,\; l_2 = 5\);
• г) \(k_1 = 5,\; l_1 = 3,\; k_2 = 9,\; l_2 = 2\);
• д) \(k_1 = 1,\; l_1 = 3,\; k_2 = -5,\; l_2 = 2\).

Задача 6.6. В умовах задачі 6.4 знайти вектор \(\overline{n}(t)\), асимптотику \(N(t)\) при \(t \to \infty\) і граничну структуру населення при \(k_1 = 4,\; l_1 = 1,\; k_2 = 8,\; l_2 = 3\), початковій умові \(\overline{n}(0) = (1, 1)^T\) і додатковому припущенні, що в групу 1 поступає потік із швидкістю \(e^{at}\), якщо:

• а) \(a = 1\);
• б) \(a = 4\);
• в) \(a = 8\).

Задача 6.7. В місті живе 4,4 млн. чоловіків і 5,6 млн. жінок. Смертність серед них 8‰ і 7‰(в рік); народжуваність у жінок 30‰(в рік); хлопчиків і дівчаток народжується порівну. Дати прогноз чисельностей чоловіків і жінок міста на 10 років наперед.

Задача 6.8. В регіоні А природний приріст складає -5‰(в рік), у регіоні Б +10‰(в рік), інтенсивність переїздів з Б в А дорівнює 5‰ (в рік). Нехай в А і Б живуть 8 і 2 млн. чол. відповідно. Дати прогноз чисельностей населення регіонів на 20 років наперед:

• а) без урахування зовнішньої міграції;
• б) якщо в А йде притік ззовні зі швидкістю 30 тис. чол. на рік.

Задача 6.9. В регіонах А і Б природний приріст складає 12‰ і 8‰(в рік); інтенсивність переїздів з А в Б складає 7‰ (в рік), з Б в А – 5‰ (у рік), початкові чисельності населення регіонів 10,6 і 9,4 млн. чол. Дати прогноз на 10 років наперед.

Задача 6.10. В містах А і Б живе 2 і 3 млн. чол. За рік з А до Б переїхало 16 тис. чол., з Б в А - 36 тис. чол., причому чисельність населення в А виросла на 40 тис. чол., а в Б зменшилась на 5 тис. чол. Оцінити інтенсивності переїздів і природний приріст у містах А та Б.